Acaba el mito de la imparcialidad de una moneda lanzada al aire

El lanzamiento al aire de una moneda para ver si cae cara o cruz no es un proceso simétrico, sino que tiene una ligera tendencia a caer del mismo lado que estaba inicialmente, ha ratificado una contundente investigación, que añade una nueva evidencia: la persona que la lanza, ya sea un árbitro de fútbol, un político, un economista o una mano inocente, también influye en el resultado.

 Siempre han surgido dudas sobre si el lanzamiento de una moneda es un proceso completamente aleatorio y equilibrado, es decir, si existe la misma probabilidad de obtener cara o cruz cada vez que se lanza una moneda al aire. Aunque la intuición indica que la respuesta es sí, la realidad es más compleja y sorprendente.

En 2007, el matemático norteamericano de origen persa Warren Diaconis, profesor de estadística y matemáticas de la universidad de Stanford, publicó un artículo en la revista de la Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM Review) en el que demostraba que el lanzamiento de una moneda no es un proceso simétrico, sino que tiene una ligera tendencia a caer del mismo lado que estaba inicialmente.

Mayor probabilidad

Es decir, si se lanza una moneda que tiene cara hacia arriba, hay una probabilidad ligeramente mayor de que vuelva a caer con la cara hacia arriba. Esta probabilidad es de aproximadamente el 51%, lo que significa que hay un 1% más de posibilidades de obtener el mismo resultado que el opuesto.

Sin embargo, esta teoría era difícil de comprobar empíricamente, ya que se necesitaban muchos lanzamientos de monedas para detectar esta pequeña diferencia. Diaconis hablaba de un mínimo de 250.000 lanzamientos.

Por eso, en 2023, František Bartoš, del Departamento de Métodos Psicológicos de la Universidad de Ámsterdam, y sus colegas, realizaron un experimento que reclutó a 48 personas para lanzar 350.757 veces 46 monedas diferentes. Los resultados confirmaron la hipótesis de Diaconis: el 50,7% de las veces, las monedas cayeron del mismo lado que estaban inicialmente. Los resultados de este trabajo se publican en arXiv.

Velocidad angular y altura

Diaconis y su equipo ya señalaban que hay dos factores principales que influyen en el resultado del lanzamiento de una moneda: la velocidad angular y la altura.

La velocidad angular es la rapidez con la que gira la moneda sobre sí misma, y la altura es la distancia que recorre la moneda desde que se lanza hasta que se detiene. Estos dos factores determinan el número de vueltas completas que da la moneda antes de caer.

Si la velocidad angular y la altura son constantes, entonces el lanzamiento de una moneda es simétrico y equilibrado. Sin embargo, si hay alguna variación en estos factores, entonces se produce una asimetría que favorece al lado inicial.

Esto se debe a que las monedas no suelen dar un número entero de vueltas, sino que quedan a medio camino entre una vuelta y otra. Eso explica por qué el lado inicial tiene más probabilidades de ser el lado final: solo necesita girar un poco más para completar la vuelta, mientras que el lado opuesto necesita girar mucho más.

Asimetría inevitable

El experimento realizado por la nueva investigación profundiza en estos procesos y muestra que la asimetría predicha por Diaconis es muy difícil de evitar, ya que depende también de otros factores como la fuerza con la que se lanza la moneda, el ángulo con el que se suelta, la resistencia del aire, etc.

Descubrieron que los lanzamientos de monedas son muy variables entre las personas: algunas muestran un fuerte sesgo hacia el mismo lado y otras no tienen ninguno. Concluyen que los lanzamientos de monedas pueden depender (muy ligeramente) del lanzador.

Por eso, concluyen que el lanzamiento de una moneda no es un proceso aleatorio y equilibrado, sino que tiene una ligera tendencia a repetir el mismo resultado.

Implicaciones

Este nuevo hallazgo tiene implicaciones tanto teóricas como prácticas. Por un lado, supone un avance en el conocimiento de los sistemas dinámicos y caóticos, que son aquellos en los que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales producen grandes cambios en los resultados finales.

Por otro lado, puede afectar a situaciones en las que se usa el lanzamiento de una moneda como método para tomar decisiones o resolver disputas, como por ejemplo en los deportes o en las elecciones políticas (en España una moneda ha decidido más de una vez quién es alcalde) y económicas. En estos casos, advierten los investigadores, se debería tener en cuenta la posible ventaja del lado inicial y buscar formas de minimizarla o compensarla.

También tiene una dimensión cultural, porque el origen histórico del lanzamiento de una moneda es la interpretación de un resultado aleatorio como expresión de la voluntad divina, explican J. Strzałko y otros investigadores en otro artículo sobre el mismo tema publicado en 2008 Physics Reports.

Este artículo concluyó que cualquier incertidumbre en las condiciones iniciales puede conducir a la incertidumbre de los resultados del lanzamiento de una moneda. Una constatación confirmada por los diferentes estudios realizados sobre el lanzamiento de monedas.

Complejidad matemática

En definitiva, el lanzamiento de una moneda no es algo tan simple como parece. Detrás de este gesto cotidiano se esconde una complejidad matemática y física que desafía nuestra intuición y nos revela aspectos sorprendentes del mundo natural.

De esto han dejado constancia también dos investigadores españoles, Lluís Hernández-Navarro y Jordi Piñero, del Institut d'Investigacions Biomèdiques August Pi i Sunyer (IDIBAPS), en Barcelona, y de la CREA-Laboratorio de Sistemas Complejos, Universitat Pompeu Fabra, respectivamente, en un artículo publicado el año pasado. en Physical Review E., en el que añaden otra variable más al lanzamiento de una moneda: que ocurra con rebote arbitrariamente inelástico. Señalan que sus resultados trascienden también el problema del lanzamiento de una moneda.

Y una conclusión práctica de los autores del nuevo estudio: si apostamos un dólar con alguien para adivinar el resultado de 1.000 lanzamientos seguidos, podemos ganar una media de 19 dólares si nos fijamos en la posición inicial de la moneda. Como ha explicado el catedrático Eduardo Costas en otro artículo, las matemáticas pueden descifrar el futuro.

Referencias

Fair coins tend to land on the same side they started: Evidence from 350,757 flips. František Bartoš et al. arXiv:2310.04153v2 [math.HO]. DOI:https://doi.org/10.48550/arXiv.2310.04153

Dynamical Bias in the Coin Toss. Persi Diaconis, Susan Holmes and Richard Montgomery. SIAM Review, Vol. 49, No. 2 (Jun. 2007), pp. 211-235. DOI: https://www.jstor.org/stable/20453950

Dynamics of coin tossing is predictable. J. Strzałko et al. Physics Reports, Volume 469, Issue 2, December 2008, Pages 59-92. DOI:https://doi.org/10.1016/j.physrep.2008.08.003

Exact face-landing probabilities for bouncing objects: Edge probability in the coin toss and the three-sided die problem. Lluís Hernández-Navarro and Jordi Piñero. Phys. Rev. E 105, L022201; 17 February 2022. DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevE.105.L022201